欧式期权是金融市场中一种常见的衍生品，它允许投资者在未来的某个特定时间点以特定价格buy或卖出某个标的资产。在金融工程学中，有一个重要的公式被广泛应用于计算欧式期权的价格，即欧式期权平价公式，本文将对该公式进行证明。

我们先来了解一下欧式期权的基本概念。欧式期权有两种类型：看涨期权和看跌期权。看涨期权允许持有者在未来某个时间点以特定价格（行权价）buy标的资产，而看跌期权则允许持有者在未来某个时间点以特定价格卖出标的资产。

假设我们有一个欧式看涨期权，其行权价为K，标的资产的当前价格为S，期权的到期时间为T，无风险利率为r。根据期权定价理论，我们可以得到欧式看涨期权的价格公式为：

C = S * N(d ) - K * e^(-r*T) * N(d2)

其中，C为期权价格，N(d )和N(d2)分别为标准正态分布函数中d 和d2的值。

欧式期权平价公式是如何推导出来的呢？

我们假设有两个相同标的资产的组合，一个组合包含一个看涨期权和适量的现金，而另一个组合包含一个看跌期权和相同数量的标的资产。我们假设两个组合的价值相等，即：

C + S = P + K * e^(-r*T)

其中，C为欧式看涨期权的价格，P为欧式看跌期权的价格。

我们将上述公式进行简单的变形，可以得到：

C - P = S - K * e^(-r*T)

这个公式被称为欧式期权平价公式。

我们将证明这个公式。

假设有两个组合，一个组合包含一个欧式看涨期权和适量的现金，而另一个组合包含一个欧式看跌期权和相同数量的标的资产。我们假设这两个组合都具有相同的价值V。

假设看涨期权的价格为C，看跌期权的价格为P，标的资产的价格为S。

对于看涨期权组合，其价值为C + S。我们假设持有者此时选择行使期权，buy标的资产，然后立即卖出标的资产，赚取无风险利率的收益rS。该看涨期权组合的 终价值为C + S + rS，即：

V = C + S + rS

对于看跌期权组合，其价值为P + K * e^(-r*T)。我们假设持有者此时选择行使期权，卖出标的资产，然后立即buy无风险债券，赚取无风险利率的收益rK * e^(-r*T)。该看跌期权组合的 终价值为P + K * e^(-r*T) + rK * e^(-r*T)，即：

V = P + K * e^(-r*T) + rK * e^(-r*T)

由于两个组合具有相同的价值V，我们可以得到以下方程：

C + S + rS = P + K * e^(-r*T) + rK * e^(-r*T)

将上述方程进行简化，得到：

C - P = (rS - rK * e^(-r*T))

我们知道，标的资产的 可以用无风险利率和股票价格的变动率来表示，即：

rS = rK * e^(-r*T)

将上述等式代入到前一个方程中，我们可以得到：

C - P = 0

我们证明了欧式期权平价公式，即：

C - P = 0

这表明了一个重要的结论：欧式看涨期权的价格减去欧式看跌期权的价格等于零。也就是说， 欧式期权的市场价格不符合欧式期权平价公式，将会出现套利机会，投资者可以通过组合持有两种期权以及标的资产来获得无风险收益。

总结一下，欧式期权平价公式是基于两个等价的组合的价值相等的假设推导出来的。该公式为我们计算欧式期权的价格提供了重要的理论基础，并且对于金融市场的投资者来说，它提供了一种判断期权定价是否合理的方法。