BSM（Black-Scholes-Merton）期权定价公式是一种用于计算欧式期权价格的数学模型。它是由费希尔·布莱克（Fischer Black）、默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）在 973年共同提出的。

BSM模型基于以下假设：

. 市场是完全 的，不存在交易成本和税收。

2. 资产价格的变动服从几何布朗运动，即价格的对数遵循一个随机过程。

3. 无风险利率是常数且已知。

4. 资产无红利支付。

根据这些假设，BSM模型使用了偏微分方程和随机微分方程的方法，推导出了期权价格的定价公式。以下是BSM期权定价公式的推导概述：

. 假设标的资产价格遵循几何布朗运动，可以用随机微分方程表示为：

dS = μSdt + σSdW

其中，S是资产价格，t是时间，μ是资产的平均 ，σ是资产价格的波动率，dW是布朗运动的增量。

2. 假设期权的支付函数为f(S, t)，则根据Ito引理，可以得到期权支付函数的随机微分方程：

df = (∂f/∂t)dt + (∂f/∂S)dS + ( /2)(σ^2S^2)(∂^2f/∂S^2)dt

其中，(∂f/∂t)是期权支付函数对时间的偏导数，(∂f/∂S)是期权支付函数对资产价格的偏导数，(∂^2f/∂S^2)是期权支付函数对资产价格的二阶偏导数。

3. 为了 与随机项dW相关的项，我们可以构造一个投资组合，由期权和股票组成，并通过动态对冲来 风险。根据无套利原理，该投资组合的 应该与无风险利率相等。

4. 对投资组合进行动态对冲，得到一个偏微分方程。通过求解该偏微分方程，可以得到期权价格的定价公式。

终，根据偏微分方程的求解结果，BSM期权定价公式可以表示为：

C = S*N(d ) - X*e^(-rT)*N(d2)

P = X*e^(-rT)*N(-d2) - S*N(-d )

其中，C是欧式看涨期权的价格，P是欧式看跌期权的价格，S是资产价格，X是期权行权价格，r是无风险利率，T是期权到期时间，N()是标准正态分布的累积分布函数，d 和d2是中间变量，可以根据资产价格、行权价格、无风险利率、波动率和期权到期时间计算得出。

BSM期权定价公式的推导过程相对复杂，需要借助高级数学工具和金融理论。在实际应用中，该公式为投资者和金融 提供了一种计算期权价格的重要工具。